【問題１】 （答え） へいせい　　　　　　　　せいれき 　　　９３７３　＋　１６　＝　７３８５　＋　２００４ （解法） 　　へ＝ａ、い＝ｂ、せ＝ｃ、い＝ｂ、せ＝ｃ、い＝ｂ、れ＝ｄ、き＝ｅとして、与えられた式 　　を書き直すと 　　　　a*1000 + b*100 + c*10 + b + 16 = c*1000 + b*100 + d*10 + e + 2004　....(1)　　 　 　 　　ただし、a,b,c,d,e = { 3, 5, 7, 8, 9 } ....(2) 　　これを整理すると 　　　　（a-c)*1000 + 0*100 + (c-d)*10 + (b-e) = 1988 ....(3) 　　式（３）の１の位を考えると 　　　　 　b-e = 8 ....(4) 　　or 　10+b-e = 8 ....(5) 　　【ｃａｓｅ１】 式（４）が成立する場合 式(4)を書き直すと 　　 　　　　b = e + 8　 ....(6)　　　 　 　　次に､百の位を考えると、左辺は､見かけ上０となっているが、右辺は９となっており、 　　 　このままでは、式は成立しないので、(ｃ−ｄ) ＜０でなければならない。 　　　 よって、１０の位は、 　　　　　　　10+(c-d) = 8　　 ....(7) 　　　　　 　 　　即ち、　　d = c + 2 ....(8) 　 　　最後に、千の位は、百の位へのbollowを考慮して、 　　　　　　　(a-c)-1 = 1 ....(9) 　 　　即ち、　　a = c + 2 ....(10) 　 (8),(10) より、ａ＝ｄとなるが、題意ａ≠ｄと矛盾するので、解なしとなる。 　　【ｃａｓｅ２】 式（５）が成立する場合 　 　　式(5)を整理すると 　　　　　　　e = b + 2 ....(11) 　　　次に､百の位を考えると、【ｃａｓｅ１】と同様に、(ｃ−ｄ) - 1＜０でなければならない。 　　　（−１は１への位のbollow）　よって、１０の位は、 　　　　　　10+(c-d)-1 = 8　....(12) 　　　　　 　　　即ち、　　d = c + 1 ....(13) 　　　最後に、千の位は、百の位へのbollowを考慮して、 　　　　　　　(a-c)-1 = 1 ....(14) 　　　即ち、　　a = c + 2 ....(15) 　 　　　以上をまとめると、 　　　　　　　e = b + 2 　....(11) 　　　　　　　d = c + 1 ....(13) 　　　　　　　a = c + 2 　 ....(15) 　　　ｃ、ｄ、ａは、連続数であることと、条件式(2)から、ｃ＝７、ｄ＝８、ａ＝９となる。 　　　すると、残りの数字は、３，５になるので、式(11)より、ｂ＝３、ｅ＝５となる。 　　　従って、 　　　　　　９３７３　＋　１６　＝　７３８５　＋　２００４ 【問題２】 (答え） 　　Pythonのプログラム（最後に添付）により、平成1年〜２０年を探索した結果（最後に添付）より。 【問題２−１】 　 平成１７年以降（ｎ≧１７）で次に解けるのはいつでしょう。 　　　==> 平成１８年です。 　【問題２−２】 　　　平成１５年以前（１≦ｎ≦１５）で解けた年を全て求めましょう。 　　　==> 平成６年以外のすべての年。 　　　そのうち唯一解けた年はいつですか。 ==>　平成４年，平成７年，平成１５年です。 　【問題２−３】 　　　平成ｎ年は解ける。 　　　これを満たすｎはいくつあるでしょう。 　　　あるいは無数存在するでしょうか。 　　　==> ｎは無数に存在する。 　　　　　∵　使用できる数字のセット（条件式（２））が変わらないような数を両辺に 　　　　　　　加算しても、答えは変わらないので 　　　　　ｅｘ．平成１６年の解（9373 + 16 = 7385 + 2004）から 　　　　　　　　　 9373 + 10016 = 7385 + 12004 　　　　　　　　　 9373 + 110016 = 7385 + 112004 　　　　　　　　　 9373 + 1110016 = 7385 + 1112004 といくらでも作れます。 　【問題２−４】 　　　問題２−３で“解ける”を“唯一解ける”に変えるとどうでしょう。 　　　==> やはり、無数に存在します。（上記の例で解そのものは変わらない） ---------------------------------------------------------------------------------------- （問題２の一般解法） 　　へ＝ａ、い＝ｂ、せ＝ｃ、い＝ｂ、せ＝ｃ、い＝ｂ、れ＝ｄ、き＝ｅとして、与えられた式 　　を書き直すと 　　　　a*1000 + b*100 + c*10 + b + N = c*1000 + b*100 + d*10 + e + M　....(1)　　 　 　　ただし、N = M - 1988　　 　　　　　　　　a,c ≠ 0　　 　　　　　　　　a,b,c,d,e = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9からＮ，Ｍに含まれる数字を除いたもの }　....(2) 　　これを整理すると 　　　　（a-c)*1000 + 0*100 + (c-d)*10 + (b-e) = 1988 ....(3) 式(3)は、【問題１】と同様であるから、a,b,c,d,eには以下の制約条件が必要である。 　　　　　　　e = b + 2 　....(11) 　　　　　　　d = c + 1 ....(13) 　　　　　　　a = c + 2 　 ....(15) 　　よって、条件(2)，式(11),(13),(15)が成立するａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅの組合せを求めればよい。 　　手計算では面倒なので、Pythonのプログラムを作ってＮ＝１〜２０までを探索した。 -------（探索結果）--------------------------------------------------------- ===== 1 ===== 1 : 4525 + 1 = 2537 + 1989 2 : 5030 + 1 = 3042 + 1989 3 : 6040 + 1 = 4052 + 1989 4 : 7050 + 1 = 5062 + 1989 5 : 7252 + 1 = 5264 + 1989 ===== 2 ===== 1 : 5636 + 2 = 3648 + 1990 2 : 8363 + 2 = 6375 + 1990 ===== 3 ===== 1 : 6040 + 3 = 4052 + 1991 2 : 7050 + 3 = 5062 + 1991 3 : 7252 + 3 = 5264 + 1991 4 : 8060 + 3 = 6072 + 1991 5 : 8262 + 3 = 6274 + 1991 ===== 4 ===== 1 : 8363 + 4 = 6375 + 1992 ===== 5 ===== 1 : 8060 + 5 = 6072 + 1993 2 : 8262 + 5 = 6274 + 1993 ===== 6 ===== ===== 7 ===== 1 : 4626 + 7 = 2638 + 1995 ===== 8 ===== 1 : 4525 + 8 = 2537 + 1996 2 : 5030 + 8 = 3042 + 1996 ===== 9 ===== 1 : 4626 + 9 = 2638 + 1997 2 : 5030 + 9 = 3042 + 1997 3 : 5636 + 9 = 3648 + 1997 4 : 6040 + 9 = 4052 + 1997 ===== 10 ===== 1 : 4525 + 10 = 2537 + 1998 2 : 7252 + 10 = 5264 + 1998 ===== 11 ===== 1 : 4525 + 11 = 2537 + 1999 2 : 4626 + 11 = 2638 + 1999 3 : 5030 + 11 = 3042 + 1999 4 : 5636 + 11 = 3648 + 1999 5 : 6040 + 11 = 4052 + 1999 6 : 7050 + 11 = 5062 + 1999 7 : 7252 + 11 = 5264 + 1999 8 : 8060 + 11 = 6072 + 1999 9 : 8262 + 11 = 6274 + 1999 10 : 8363 + 11 = 6375 + 1999 ===== 12 ===== 1 : 5636 + 12 = 3648 + 2000 2 : 5737 + 12 = 3749 + 2000 3 : 6747 + 12 = 4759 + 2000 4 : 8363 + 12 = 6375 + 2000 5 : 9373 + 12 = 7385 + 2000 6 : 9474 + 12 = 7486 + 2000 ===== 13 ===== 1 : 6747 + 13 = 4759 + 2001 2 : 9474 + 13 = 7486 + 2001 ===== 14 ===== 1 : 8363 + 14 = 6375 + 2002 2 : 9373 + 14 = 7385 + 2002 ===== 15 ===== 1 : 9474 + 15 = 7486 + 2003 ===== 16 ===== 1 : 9373 + 16 = 7385 + 2004 ===== 17 ===== ===== 18 ===== 1 : 5737 + 18 = 3749 + 2006 ===== 19 ===== 1 : 5636 + 19 = 3648 + 2007 ===== 20 ===== 1 : 5737 + 20 = 3749 + 2008 2 : 6141 + 20 = 4153 + 2008 3 : 6747 + 20 = 4759 + 2008 4 : 7151 + 20 = 5163 + 2008 -----(これより、Pythonプログラムソース）-------------------------------- ##### 20004.01.04 # def exe() : out = open("log.txt","w") for y in range(1,21) : WriteLog(out,"\n===== %d =====" % (y)) Solve(y,1988+y,out) out.close() ### def Solve(N,M,out) : Cand = [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9] Drop(N,Cand) Drop(M,Cand) m = 0 for c in range(1,8) : a = c + 2 d = c + 1 if (Cand[a] < 0) | (Cand[c] < 0) | (Cand[d] < 0) : continue Cand[a] = -1 Cand[c] = -1 Cand[d] = -1 for b in range(0,8) : e = b + 2 if (Cand[b] < 0) | (Cand[e] < 0) : continue m += 1 Line = " %2d : %d%d%d%d + %2d = %d%d%d%d + %4d" % (m,a,b,c,b,N,c,b,d,e,M) WriteLog(out,Line) Cand[a] = a Cand[c] = c Cand[d] = d ### def Drop(N,Cand) : n = N while n > 0 : m = n % 10 n = n / 10 Cand[m] = -1 ### def WriteLog(out,Line) : print Line out.write(Line+"\n") out.flush() -------(終わり）------------------------------------------------------------------------