カラー版ライツアウトの解法（補足） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2000.09.18 deepgreen カラー版ライツアウトの解法そのものについては、高橋謙一郎さんのＨＰに 詳細な解説があるので、ここでは、落穂拾い的な話題を扱うことにする。 □解法のポイント（おさらい） 　 問題面　　　　 　ｐｕｓｈパターン 　ＡＢＣＤＥ　　　　　x01x02x03x04x05 　ＦＧＨＩＪ　　　　 x06x07x08x09x10 　ＫＬＭＮＯ　 x11x12x13x14x15 　ＰＱＲＳＴ　 x16x17x18x19x20 　ＵＶＷＸＹ　　　　　x21x22x23x24x25　 カラー版（Ｃ色）になって変わったのは、同じ箇所をＣ回押さないともどら 　ない点である。Ａ〜Ｙ，x01〜x25は、０〜（Ｃ−１）の値域となる。 　２色の場合と同様に連立式をたてることができる。 　　式01　　x01＋x02＋x06　　　＋Ａ ＝　０　ｍｏｄ　Ｃ 　　式02　　x01＋x02＋x03＋x07 ＋Ｂ ＝　０　ｍｏｄ　Ｃ 　　　　　　　　　．．． 　　式25　　x20＋x24＋x25　　　＋Ｙ ＝　０　ｍｏｄ　Ｃ 　定数を右辺に移項した形にして、以下のように略記する。（移項によって係数はＣ−１となる） [５ｘ５、Ｃｏｌｏｒ＝３］ 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 1 - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - 1 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - 1 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - 1 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - 1 1 - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - 1 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - 1 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - 1 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - 1 1 - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - 1 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - 1 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - 1 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - 1 1 - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - 1 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - 1 1 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - 1 1 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - 1 1 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - 1 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 【Ｃが素数の場合】 　フェルマの定理によって、ある数ｍ（≠０）の逆数ｒ（ｍ＊ｒ＝１　ｍｏｄＣ）が保証 　されているので、上記の連立式は掃出し法で簡単に解くことができる。 【Ｃが素数でない場合】 　ある数ｍの逆数ｒ（ｍ＊ｒ＝１　ｍｏｄＣ）が保証されない場合がある。 　（例えば、ｍｏｄ４の場合、２の逆数は存在しない。） 　この場合、連立式を掃出し法で解くための基点にすることはできないので、他 　の行と入れ換える操作が必要になる。 　逆数の存在しない数をｍとするとき、ある行をｍ倍する操作はしてはいけない。 　（元にもどれないから） ［結果の解析］ （１） Color=3,Raw=5,Col=5 　　 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 2 - 1 1 2 1 1 - 2 2 2 1 - 1 1 - 2 2 2 2 1 - 2 2 - - - 　　- 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 - 2 1 - - 2 1 2 1 1 - - 2 2 1 - 2 - - 2 - 1 1 2 - - - 　　- - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - 2 - 1 2 1 1 - 2 2 - - - 1 - - 2 2 - - - 2 2 - - - 　　- - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - 1 1 2 2 2 - - 1 - 1 1 1 - 2 2 1 2 2 2 - 2 1 - - - - 　　- - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 1 - 1 1 1 - 2 1 - 1 - - 1 - 1 2 1 1 1 2 2 - - 2 - - - 　　- - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - 2 1 1 - 2 1 - 1 1 - - 1 2 1 - 1 - 2 1 1 2 2 2 - 2 - - - 　　- - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - 1 1 1 2 1 - 1 - - - 1 2 2 1 - - - 2 2 2 2 2 2 1 - - - - 　　- - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - 2 - - 2 1 2 - 1 - 1 - - 2 - 1 2 1 - 2 2 2 - - 2 2 - - - 　　- - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - 2 2 2 2 - 2 1 - 1 2 - - 2 1 - 2 2 1 1 1 2 1 1 - 2 - - - 　　- - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - 2 2 1 - - 1 - 2 2 2 2 2 1 - - 2 1 - - 2 1 1 2 1 - - - 　　- - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - 1 2 1 - 2 - 1 1 1 1 - 1 1 1 2 1 - - 1 1 - 1 2 - 2 - - - 　　 - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - 2 1 2 1 2 - - - - - 1 - - 2 - 2 2 - 1 1 1 2 1 2 - - - - 　　- - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - 1 1 1 2 1 1 - 2 2 - 1 2 1 - - 2 2 - - - 1 - - - - 　　 - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - 1 2 1 - - - 2 2 - - 1 2 2 - 2 - 2 - 1 1 1 1 2 1 1 - - - 　　 - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - 2 1 2 2 2 - 1 1 2 2 - 1 1 - - - - - 1 1 - 2 1 1 1 - - - 　　 - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - 1 2 2 2 - 2 2 1 1 2 2 1 - 1 1 2 1 1 - - - 1 1 1 2 - - - 　　 - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - 2 2 2 2 - 2 2 1 1 2 2 1 - 1 1 2 1 1 - - - 1 1 2 1 - - - 　　 - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - 1 - - 2 2 - 2 2 2 2 2 2 2 - 1 - 1 - - - 2 - - - - - - - 　 　　- - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - 1 1 1 1 - - - 2 2 2 - 1 1 1 2 - 1 2 1 1 - 2 2 - 2 - - - 　　　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - 1 1 - 1 - 2 - 2 2 - 1 1 2 1 - 2 1 1 1 - 2 2 2 - - - - 　　　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - 2 - 1 2 1 2 1 - - 1 2 - 2 - 2 1 1 1 1 2 - - 2 - 1 - - - 　 　　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - 1 - 2 2 2 - 2 2 - 2 2 1 2 - - 1 1 2 1 - 2 - 1 - - - - 　式23　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 2 1 1 2 2 1 2 2 - 1 2 - 1 2 1 2 1 1 - 2 - 2 - - 式24　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 - - - 1 1 1 - 2 2 2 1 - 2 1 2 2 - 1 1 - 1 - 2 - 式25　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 - 1 - 1 1 - 2 2 1 2 - 1 2 2 2 - 1 1 1 - - - 2 　式23、式24、式25は、2色の場合と同様に「解の存在条件式」となっている。 　例えば、A=1，B=１，C=2　他は０という問題は、以下の計算により解が存在しない。 　　　式23　２＊１＋２＊１＋１＊２＝６＝０ｍｏｄ３　：ＯＫ 　　　式24　２＊１　　　　　　　　＝２　　　　　　　：ＮＧ □新しい「解の存在条件式」 　５ｘ５，Color=６の解には、今までと異なるパターンがでてきます。 ［５ｘ５，Color=６の最後の部分］ 　　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - 1 - 4 1 - 4 1 1 1 1 1 1 - 2 3 5 3 3 - 1 - 3 3 - 2 3 - 式23 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3 3 3 4 1 5 2 4 1 2 4 1 - 5 4 - 5 1 2 1 5 5 - 4 - 1 3 - 式24 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5 1 1 4 1 - 5 - 1 5 1 - 5 1 5 - 1 - 5 2 5 5 1 - 式25 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5 4 1 2 5 3 2 5 4 5 2 4 - 2 4 3 4 1 2 1 3 - 5 - 5 　式24、式25は、従来と同じものです。式23を、明に書くと 　　　3*(x23+x24+x25)　＝　4*A+1*B+5*c...　ｍｏｄ６ 　となります。もし、右辺が３の倍数でない場合、この等式はなりたちません。 　つまり、解が存在するためには、３の倍数になることが必要となります。 　右辺が３の倍数の場合、それを３ｍとすると 　 　　　　x23+x24+x25　＝　ｍ　　　ｍｏｄ６　又は 　　　　x23+x24+x25　＝　ｍ＋２　ｍｏｄ６ 　 　をみたす、x23,x24,x25の組み合わせのみが解となり得る。 　以上より、式２３は、「右辺が３の倍数であること」という解の存在条件を 　要請していると同時に、X23,x24,x25に対しても制約を課している新しい形 　の「解の存在条件式」となっている。 　ここまでが、高橋謙一郎さんのＨＰで議論した話です。 　その後、Ｃｏｌｏｒ＝３０，６０，６６，９０にも新しいパターンがあるこ 　とを高橋謙一郎さんから教えていただきました。 　［５ｘ５，Color=30の場合］ 　　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - 2 - 1 222016271518 227 2181823131625 1 411 4 1 7212828 - 式22 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 427 127 1822 -2526202013 9 9 21518 41623 51013 1 - 714 2 - 式23 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -29 1 128 1 -29 - 129 1 -29 129 - 1 -29 22929 1 - 式24 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 921 -21 2617222511172526 22422 51513231623 1 7 -291514 9 - 式25 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 129 - 129 - - - - -29 1 -29 1 - - - - - 129 - 129 　　 　式22は、ちょっと見ずらいですが、x24の係数が１になっています。式23、式25 　は従来のパターンです。式24は、ちょっと変わっています。この式は 　　　3*(3*x22+7*x23+7*x25)　＝　26*A+17*B+...　ｍｏｄ３０ 　となりますので、右辺はやはり３の倍数が要請されます。この値を３ｍとすると 　　　3*x22+7*x23+7*x25　＝　ｍ，ｍ＋１０，ｍ＋２０　ｍｏｄ３０ 　をみたす、x22,x23,x25の組み合わせが解となります。 　（これから先は探索になります） □ちょっと補足 　結局、連立式を解くためには、掃出しの基点となる位置の係数を１にする事が 　本質です。逆数の存在は、その第１の手段ですが、他の方法もありますので、 　簡単に触れておきます。（実際は必要ないでしょうが、．．．） 　　　「ａ，ｂが互いに素な整数のとき、 　　　　ａ＊ｍ＋ｂ＊ｎ＝１となる整数ｍ、ｎが存在する」 　という定理を利用します。 　 　解法の過程で、ａ、ｂは互いに素　かつ　ａ、ｂがＣ（カラー数）の約数で 　　（１）　　ａ＊Ｘ＋．．．　　　ｍｏｄＣ 　　（２）　　ｂ＊Ｘ＋．．．　　　ｍｏｄＣ 　という形の時、これをａ＊ｍ＋ｂ＊ｎ＝１となるｍ、ｎを求めて 　　ｍとＣが互いに素の場合　　 　　　（１）’　１＊Ｘ＋．．．　　　ｍｏｄＣ 　　　（２）　　ｂ＊Ｘ＋．．．　　　ｍｏｄＣ 　　ｎとＣが互いに素の場合、 　　　（１）　　ａ＊Ｘ＋．．．　　　ｍｏｄＣ 　　　（２）’　１＊Ｘ＋．．．　　　ｍｏｄＣ 　に変形することができます。 □「０解」 　「０解」の定義は、２色のときと同様とします。すなわち、ｐｕｓｈしても何ら 　問題面の変化を生じないようなパターンです。 　２色の場合は、「解の存在条件式」と「０解」は密接な関係がありましたが、 　カラーになるとどうなるのでしょうか？ 　問題面の位置、解のパターンを以下のように表現する。 　　［問題面］　　　　　［解］ 　　ａｂｃｄｅ　　　　　ＡＢＣＤＥ 　　ｆｇｈｉｊ　　　　　ＦＧＨＩＪ 　　ｋｌｍｎｏ　　　　　ＫＬＭＮＯ 　　ｐｑｒｓｔ　　　　　ＰＱＲＳＴ 　　ｕｖｗｘｙ　　　　　ＵＶＷＸＹ 　Ａの位置をｐｕｓｈすると、ａ、ｂ、ｆの位置の色が１つすすむ。これを 　以下のように記述する。 　abcdefghijklmnopqrstuvwxy ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXY 11---1------------------- 1------------------------ 他の位置も同様に記述できるので、全体は以下のようになる。 　　［５ｘ５，Clor=3の場合］ 　　 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 　　 1 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 　　 - 1 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 　　- - 1 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 　　 - - - 1 1 - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 　　 1 - - - - 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 　　 - 1 - - - 1 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 　　 - - 1 - - - 1 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - 　　 - - - 1 - - - 1 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - 　　 - - - - 1 - - - 1 1 - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - 　　 - - - - - 1 - - - - 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - 　　 - - - - - - 1 - - - 1 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - 　　 - - - - - - - 1 - - - 1 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - 　　 - - - - - - - - 1 - - - 1 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - 　　 - - - - - - - - - 1 - - - 1 1 - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - 　　 - - - - - - - - - - 1 - - - - 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - 　　 - - - - - - - - - - - 1 - - - 1 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - 　　 - - - - - - - - - - - - 1 - - - 1 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - 　　 - - - - - - - - - - - - - 1 - - - 1 1 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - 　　 - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - 1 1 - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - 　　 - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - 1 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - 　　 - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - 1 1 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - 　　 - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - 1 1 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - 　　- - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - 1 1 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - 　　 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - 1 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 　この連立式には、ｍｏｄＣ演算（Ｃ:カラー数）が適用できます。 　また、この連立式の左辺は、カラー版ライツアウトの解法と全く同じで右辺 　のみが違います。（両者が補数の関係にあるのは注目すべき） 　この連立式を解くと、（解き方は同じです） ［Color=3,Raw=5,Col=5の構成要素］ 　　1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 2 - 2 2 1 2 2 - 1 1 1 2 - 2 2 - 1 1 1 1 2 - 1 1 - - - 　　- 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 - 2 2 - - 1 2 1 2 2 - - 1 1 2 - 1 - - 1 - 2 2 1 - - - 　　- - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - 1 - 2 1 2 2 - 1 1 - - - 2 - - 1 1 - - - 1 1 - - - 　　- - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - 1 2 1 1 1 - - 2 - 2 2 2 - 1 1 2 1 1 1 - 1 2 - - - - 　　- - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 1 - 2 2 2 - 1 2 - 2 - - 2 - 2 1 2 2 2 1 1 - - 1 - - - 　　- - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - 2 1 1 - 1 2 - 2 2 - - 2 1 2 - 2 - 1 2 2 1 1 1 - 1 - - - 　　 - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - 1 1 1 1 2 - 2 - - - 2 1 1 2 - - - 1 1 1 1 1 1 2 - - - - 　　- - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - 2 - - 1 2 1 - 2 - 2 - - 1 - 2 1 2 - 1 1 1 - - 1 1 - - - 　　- - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - 2 2 2 1 - 1 2 - 2 1 - - 1 2 - 1 1 2 2 2 1 2 2 - 1 - - - 　　 - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - 2 2 2 - - 2 - 1 1 1 1 1 2 - - 1 2 - - 1 2 2 1 2 - - - 　　 - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - 1 2 1 - 1 - 2 2 2 2 - 2 2 2 1 2 - - 2 2 - 2 1 - 1 - - - 　　 - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - 2 1 2 2 1 - - - - - 2 - - 1 - 1 1 - 2 2 2 1 2 1 - - - - 　　- - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - 2 2 2 1 2 2 - 1 1 - 2 1 2 - - 1 1 - - - 2 - - - - 　　- - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - 1 2 1 - - - 1 1 - - 2 1 1 - 1 - 1 - 2 2 2 2 1 2 2 - - - 　　 - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - 2 1 2 1 1 - 2 2 1 1 - 2 2 - - - - - 2 2 - 1 2 2 2 - - - 　　 - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - 1 2 2 1 - 1 1 2 2 1 1 2 - 2 2 1 2 2 - - - 2 2 2 1 - - - 　　 - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - 2 2 2 1 - 1 1 2 2 1 1 2 - 2 2 1 2 2 - - - 2 2 1 2 - - - 　　 - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - 1 - - 1 1 - 1 1 1 1 1 1 1 - 2 - 2 - - - 1 - - - - - - - 　　 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - 1 1 1 2 - - - 1 1 1 - 2 2 2 1 - 2 1 2 2 - 1 1 - 1 - - - 　　 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - 1 1 - 2 - 1 - 1 1 - 2 2 1 2 - 1 2 2 2 - 1 1 1 - - - - 　　 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - 2 - 1 1 2 1 2 - - 2 1 - 1 - 1 2 2 2 2 1 - - 1 - 2 - - - 　　 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - 1 - 1 1 1 - 1 1 - 1 1 2 1 - - 2 2 1 2 - 1 - 2 - - - - 　ｑ23 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 1 2 2 1 1 2 1 1 - 2 1 - 2 1 2 1 2 2 - 1 - 1 - - ｑ24 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - 2 2 2 - 1 1 1 2 - 1 2 1 1 - 2 2 - 2 - 1 - ｑ25 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - 2 - 2 2 - 1 1 2 1 - 2 1 1 1 - 2 2 2 - - - 1 　ｑ２３、ｑ２４、ｑ２５が「０解」である。 　「解の存在条件式」の３個に対応して「０解」も３個となっている。 　しかし、両者は別物か？ ［再掲：５ｘ５、Ｃｏｌｏｒ＝５の解の存在条件式］ 　式23　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 2 1 1 2 2 1 2 2 - 1 2 - 1 2 1 2 1 1 - 2 - 2 - - 式24　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 - - - 1 1 1 - 2 2 2 1 - 2 1 2 2 - 1 1 - 1 - 2 - 式25　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 - 1 - 1 1 - 2 2 1 2 - 1 2 2 2 - 1 1 1 - - - 2 　q23＋q23＝式23となっている点に注目されたい。r23＝q23+q23とすると、 　q23=r23+r23となるので、ｑ２３とｒ２３は等価（表と裏の関係）である。 　従って、ｑ２３と式２３は等価である。他も同様である。 　結局、”カラーの場合も「解の存在条件式」と「０解」は一致する” 蛇足：新しい「解の存在条件式」がある場合は、別途検討が必要です。 　　　　（多分、補数関係にあるところまでしか言えないと思います）