「高橋の数」の２，３の性質について 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2000.08.05 □用語の定義 ・ｍｉｎ（Ｎ） 　ある自然数Ｎに対して、各桁を小さい順に並べ替えた数 　ex. min(324) = 234 ・ｍａｘ（Ｎ） 　ある自然数Ｎに対して、各桁を大きい順に並べ替えた数 　ex. max(324) = 432 ・Ｔ変換、Ｔ（Ｎ）　 　ある自然数Ｎに対して、ｍａｘ（N)−ｍｉｎ（Ｎ）でえられる数 　ex. T(324) = max(324) - min(324) = 198 ・「高橋の数」 　Ｎ＝Ｔ（Ｎ）が成り立つ自然数Ｎを「高橋の数」と呼ぶ 　ただし、ｍｉｎ（Ｎ）は桁落ちしないものとする 　つまり、「高橋の数」とはＴ変換に不変な自然数ということです。 ・スペクトル、Ｓ（Ｎ） 　自然数Ｎの構成要素(１０進表現でどの数字が何個あるか）をスペクトルと 　呼ぶことにする。 　＜スペクトルの表現＞ 　　２３３４のスペクトルは、２が１つ、３が２つ、４が1つであるがこれを 　　Ｓ（２３３４）＝（２，３ｘ２，４）と記述する 　　Ｓ（２２３３４４）＝（２ｘ２，３ｘ２，４ｘ２） 　　　　　　　　　　　＝（２，３，４）ｘ２　とも記述する 　また、Ｓ（２３３４）＝Ｓ（３３２４）のようにスペクトルが同じになる数 　は複数あることに注意 □性質１：高橋の数は９の倍数である 　 　自然数ｍを９で割った剰余を ｍ mod 9 で表す。 　「高橋の数」Ｎの１０進表示をＡ1Ａ2．．．Ａnとする。 　N mod 9 = A1A2...An mod 9 = A1+A2+ +An mod 9 (よく使われる９の倍数のテスト方法） 　ｍｉｎ（Ｎ）は、A1,A2,...Anの順序が入れ代わっただけなので 　min(N) mod 9 = a1+a2+ +An mod 9 となる。同様に、ｍａｘ（Ｎ）も 　max(N) mod 9 = a1+a2+ +An mod 9 となる。 「高橋の数」の定義により、 　N mon 9 = { max(N) - min(N) } mod 9 = max(N) mod 9 - min(N) mod9 = 0 よって、「高橋の数」は９の倍数である。 □性質２：スペクトル特性 （１）「高橋の数」のスペクトルはＴ変換後もかわらない （２）自然数をスペクトルにより分類した場合、 　　　　（ｉ）Ｔ変換に対して不変なクラスと 　　　　（ｖ）Ｔ変換で変わってしまうクラス 　　　に分けることができる。「高橋の数」は当然（ｉ）に含まれる。 （３）Ｔ変換不変なスペクトルには、「高橋の数」が１つ含まれる。 □性質３：最大数と最小数のはざま 　自然数Ｎの１０進数表現をＡ1Ａ2 ．．．Ａn 　　　　ｍｉｎ（Ｎ）を　　Ｂ1Ｂ2 ．．．Ｂn 　　　　ｍａｘ（Ｎ）を　　ＢnＢn-1．．．Ｂ1 　　　Ｄk　＝　Ｂn-k+1　−　Ｂk 　とすると、 　　　　Ｄk　＞＝　Ｄk+1 　　　　Ｄk　＝　−Ｄnｰk+1 　である。Ｄk ＞ ０かつ最小のものをＤiとする。 　 例（ｉ＝３） ＢnＢn-1．．Ｂn-i+1．．Ｂi　　．．Ｂ1 7 7 5 3 2 2 1 Ｂ1Ｂ2 ．．Ｂi　　．．Ｂn-i+1．．Ｂn　　　　　1 2 2 3 5 7 7 　　　−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− --------------- 　　　　Ｄ1Ｄ2　．．Ｄi 0...0 Ｄn-i+1．．Ｄn　　　　　6 5 3 0-3-5-6 　　　　 　　もし、i+1 = n-i+1（即ち、ｎ＝２＊ｉ）のときは中間の０は存在しない 　　　 これより、ＤkとＡkの関係は、（１０進数の演算）以下のようになる。 　　　　ｋ＜ｉ：　Ａk　＝　Ｄk 　　　　ｋ＝ｉ：　Ａi　＝　Ｄi−１ 　　ｉ＜ｋ＜ｊ：　Ａk　＝　９　 （ただし，ｊ＝ｎ−ｉ＋１） 　ｊ＜＝ｋ＜ｎ：　Ａk　＝　９＋Ｄk 　　　　　　　　　　　 ＝ ９−Ｄn-k+1 　　　　ｋ＝ｎ：　Ａn ＝１０＋Ｄn 　　　　　　　　　　　＝１０−Ｄ1 　上記の式は、ｎ，ｉ，Ｄ1〜Ｄiがきまると、Ａ1Ａ2 ．．．Ａnが決まると 　いうことを意味している。 　「高橋の数」として０を含まないものを考えているので、 　　　　２ ＜＝ Ｄk ＜＝ ８　　ただし、ｋ＜＝ｉ （参考）Ａk 相互の関係 　ｉ＝１のとき　　Ａ1　＋　Ａn　　　＝　Ｄ1−１　＋　１０−Ｄ1 　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　９ 　 　ｉ＞１のとき　　Ａ1　＋　Ａn　　　＝　Ｄ1　＋　１０−Ｄ1 　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　１０ 　 　ｋ＜ｉのとき　　Ａk　＋　Ａn-k+1　＝　Ｄk　＋　９−Ｄk 　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　９ 　 　ｋ＝ｉのとき　　Ａk　＋　Ａn-k+1　＝　Ｄk−１　＋　９−Ｄk 　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　８