本当はつくるのが面倒なので、「数学の先生に聞いてください」と書きたかったのですが、責任はもちます。すべて自己流の解答法ですが、打ち間違いのない限り正解ですよ。

問題１．htmlの形式にて極限の記号を書くのはとても面倒なので、以降�凅→0というのが前提条件とします。この形式で見にくい人は教科書や参考書を見れば確実に載っています。
(証明)導関数の定義より、
(sinx)' ={sin(x+�凅)-sinx}/�凅
={sinxcos�凅+cosxsin�凅-sinx}/�凅
={sinx(cos�凅-1)+cosxsin�凅}/�凅
=sinx(cos²�凅-1)/(cos�凅+1)�凅+cosx(sin�凅/�凅)
=sinxsin�凅(sin�凅/�凅)･{1/(cosx+1)}+cosx(sin�凅/�凅)
=sinx･0･1･(1/2)+cosx･1(∵�凅→0のときsin�凅/�凅→1)
=cosx　□

∵は「なぜならば」と読みます。□は証明終了を意味する記号です。注意をしますと、不定形(0/0)の扱いですね。東大生もここをうまく扱えず、点を落としていましたよ。

問題２．大抵こういう命題は誤りのようです。なぜなら真であることを証明するのは困難だからです。そう思いつついろいろ関数を考えていると、ふとした弾みで見つかりますよ。
(解)誤りである。
たとえば、f(x)=2e^x+1,g(x)=e^x
とすると、これらはf(x)>0,g(x)>0をみたす。
これらの関数はいずれも微分可能であり、f'(x)=2e^x,g'(x)=e^x
であるから、f'(x)>g'(x)>0をみたす。(＊)
このときy=f(x)/g(x)を考えると、f(x)/g(x)=2+e^-xであるから、
y=f(x)/g(x)は減少関数となる。
ゆえに、命題は誤りである。


補足：はじめ、私はf(x)=2e^x,g(x)=e^xとして考えました。
このとき、上の解答の(＊)までは上の解答と同じなのですが、最後が、
「このときy=f(x)/g(x)を考えると、f(x)/g(x)=2であるから、y=f(x)/g(x)は増加関数ではない。」
という結論となります。
このような解答にたどり着いた人もいるかと思いますが、この解答は厳密に言うと、正しくない可能性があります。というのも、それは、「増加関数」の言葉の意味をどうとるかによって変わってくるからです。
詳しい話は数学の先生に聞いていただけばいいのですが、増加関数には「広義増加関数」と「狭義増加関数」があって、簡単に説明すると、x₁>x₂⇒f(x₁)≧f(x₂)となるのが広義増加関数、x₁>x₂⇒f(x₁)＞f(x₂)となるのが狭義増加関数なのです。
だから、「f(x)/g(x)=2であるから、y=f(x)/g(x)は増加関数ではない。」は厳密には、「f(x)/g(x)=2であるから、y=f(x)/g(x)は狭義増加関数ではない。」であって、広義増加関数ではある、とみることもできるのです。
だいたい、広義増加関数の「広義」は省略するので、この問題は「広義増加関数ではない」ものにしなくてはならないとみるべきです。
そう考えると、最初にあげたように、うまく(狭義)減少関数とするのが無難でしょう。

と、こんなところですが、どうでしょうか。何か質問があれば、私でもいいですが、数学の先生に聞いたほうが、専門家ですので、よいと思います。
ちなみに私は問題１は正解、問題２はf(x),g(x)>0をいい忘れて(当り前だと思って書かなかった)２５％の減点を食らいました。「黒板に書いたのがかっこよかった」（友人談）のため、数学ができると思い込まれて、シケ対になってしまったのです。トホホ…。