Wanted

ここでは、易しくて面白そうな問題を出題します。是非、解いてみてください。
答えは、こちら(deepgreen)までお願いします。

Wanted #1 (98.11.03)

　　　　 2003.12.09　ｍ＝２００，２５０の回答をいただきました。　
　　　　2003.12.0８　ｍ＝１５０の回答をいただきました。
　　　　2003.11.16　はじめて、回答をいただきました。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

数列の長さに関する問題です。
N(0) を奇数とします。 3*N(0) + 1 は偶数になるので、3*N(0) + 1 = (2**k) * N(1) となる奇数の N(1) とする。（ただし、2**k は 2のk乗とする) 同様にして N(2),N(3),...を計算していくと最後に N(m) = 1 となるmが存在するそうです。（証明はされていないようですが）

たとえば、N(0) = 131とすると、以下のような数列になります。(m=8の例)

131 -> 197 -> 37 -> 7 -> 11 -> 17 -> 13 -> 5 -> 1

N(m) = 1となるmを数列の長さと呼ぶことにします。長さが 25, 50の例を求めると以下のようになります。その先を求めてくださいというのが問題です。

上記の長さにこだわらず、もっと長いものを求めていただいても結構です。

それにしても、発散してしまわないのが不思議ですね。

Wanted#2 (added 98.11.22)

平面上にNケの点が与えられたとき、これらの点を包含する最小の円を求めてください。
たとえば、以下の 8点の場合に、最小円の中心と半径を求めてください。

2003.11.16　Ｊａｎ　T.Z.　Chanさんから以下の回答をいただきました。
　　　　　　　　Center 　　2.40909091071805　　 -0.0714285493385359
　　　　　　　　Radius 　　13.08477813

Wanted#3 (added 2003.11.24)

ピタゴラスの数は、Ａ＊＊２　+　B＊＊２　＝　Ｃ＊＊２　を満たす自然数Ａ，Ｂ，Ｃをいいます。　［３，４，５］　や　［５，１２，１３］などがその数です。
では、　Ａ＊＊２　＋　Ｂ＊＊３　＝　Ｃ＊＊４　を満たす自然数を探してください。　昔、この問題を聞いたとき形の面白さにひかれました。
やさしい問題ですので、筆算でトライしてください。

Wanted#4　（ａdded　2003.11.24）

　　　　2004.01.02 解答をいただきました。（答えは、いく通りかありますので他の方もどうぞ）

【どのような自然数も４つの平方数の和で表すことができる。ただし、平方数には、０の平方も含める。】　という定理があります。
つまり、
　　　　　　Ｚ　＝　Ａ＊＊２　＋　Ｂ＊＊２　＋　Ｃ＊＊２　＋　Ｄ＊＊２
　　　　　　ただし、Ｚ　：　自然数
　　　　　　　　　　　Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ　：　０または自然数
　　　
例えば、１〜１０までは以下のようになります。

　　　　　　　１　＝　１＊＊２＋０＊＊２＋０＊＊２＋０＊＊２　　　　　　　６　＝　２＊＊２　＋　１＊＊２　＋　１＊＊２　＋　０＊＊２
　　　　　　　２　＝　１＊＊２＋１＊＊２＋０＊＊２＋０＊＊２　　　　　　　７　＝　２＊＊２　＋　１＊＊２　＋　１＊＊２　＋　１＊＊２
　　　　　　　３　＝　１＊＊２＋１＊＊２＋１＊＊２＋０＊＊２　　　　　　　８　＝　２＊＊２　＋　２＊＊２　＋　０＊＊２　＋　０＊＊２
　　　　　　　４　＝　２＊＊２＋０＊＊２＋０＊＊２＋０＊＊２　　　　　　　９　＝　２＊＊２　＋　２＊＊２　＋　１＊＊２　＋　０＊＊２
　　　　　　　５　＝　２＊＊２＋１＊＊２＋０＊＊２＋０＊＊２　　　　　　１０　＝　２＊＊２　＋　２＊＊２　＋　１＊＊２　＋　１＊＊２
　
　それでは、以下の数を４つの平方数で表すとどのようになるでしょうか？　（８桁以上は、ちょっと難しいと思います）

Wanted#５ (added 2004.01.14)

　　　　　2004.01.24 toshiさんより解答をいただきました。

ａ，ｂを自然数｛正の整数）とするとき、ｍ＝ａ＊＊２　＋　ｂ＊＊２で表されるｍをノルム数、（ａ，ｂ）をノルム基底と呼ぶことにします。
π（ｍ）を、ｍのノルム基底の数（ただし、ａ＞＝ｂ＞０）と定義します。
例えば、
　　　　　　　π（２）＝１　：　（１，１）　即ち、２＝１＊＊２　＋　１＊＊２の１通りの表現しかない
　　　　　　　π（３）＝０　：　２つの平方和にあらわせない
　　　　　　　π（４）＝０　：　（２，０）は、対象外（ｂが正ではない）
　　　　　　　π（５）＝１　：　（２，１）
　　　　　　　π（６５）＝２：　（７，４），（８，１）の２通りのみ

一般に、π（ｐ）　＝　１　：　ｐが、（４＊ｎ＋１）型の素数のとき
　　　　　　　　　　　　 ０　：　ｐが、（４＊ｎ＋３）型の素数のとき
であることが知られています。
　
任意の自然数ｎにたいして、π（ｍ）＝ｎとなるｍは存在するのでしょうか？　というのが気になるところです。
とりあえず、π（ｍ）＝６〜１５を求めてください。（ひとつだけ大きな数のｍがあります）