「高橋の数」

2000.08.20　　　
2000.08.29更新

又聞きの話で申し訳ないのですが、
高橋正視さんという方が発見された「高橋の数」という面白い性質をもつ数があります。
最近、ご自身のＨＰにも記載されています。

また、０の扱いが明確に定義され(2000.08.22)、従来の考えはタイプ２の「高橋の数」となりました。
新たに定義されたタイプ１の「高橋の数」についてはこちらです。

□「高橋の数」とは

　 ある自然数について、その各桁を小さい順に並べ換えたものと大きい順に並べ換えたものとの差が
　 もとの自然数に等しくなるとき、この自然数を「高橋の数」と名付けたそうです。

［例］
２４３の場合、最小数は２３４、最大数は４３２となるのでその差は１９８（≠２３４）ですから
「高橋の数」ではありません。
４９５の場合、最少数は４５９、最大数は９５４となり、その差はちょうど４９５となりますので
「高橋の数」になります。

途中に０のある自然数の場合、最少数は桁落ちしてしまいます。　　　
　　　　Ｎ 　 　： ９７５３０８６４２１
　　　　最大数： ９８７６５４３２１０
　　　　最少数：　 １２３４５６７８９
このような場合も「高橋の数」に含めるかどうかはあまり明確ではありません。
以下では、含めないことにします。（好みの問題ですけど）

□「高橋の数」の例

　　桁数　　　「高橋の数」
　　　３　　　　　４９５
　　　４　　　　　６１７４
　　　５　　　　　存在しない
　　　６　　　　　５４９９４５、６３１７６４
　　　７　　　　　存在しない
　　　８　　　　　６３３１７６６４
　　　９　　　　　５５４９９９４４５、８６４１９７５３２

　　「高橋の数」は意外と少ないようです。

□「高橋の数」の分類　（高橋謙一郎さんのＨＰ（掲示板:2000.07.19）を参照）

　高橋謙一郎さんは５７桁までの「高橋の数」を調べた結果、以下の規則性を発見されました。
　５７桁以下の「高橋の数」は、以下のtype A 〜 type D の４種類になる。

　　 　 type A　：(4,5,9) x n
　　　 type B　：(1,4,6,7) x 1 + (3,6) x m
　 　　type C　：(1,2,3,4,5,6,7,8,9) x n + (3,6) x m
　 　　type D　：(1,2,3,4,5,6,7,8,9) x n + (2,2,2,3,4,4,5,5,6,7,7,7,9,9) x m
　　　　　　　　　　ただし、m >= 0, n >= 1 の整数
　
　さて、「この規則性が一般的に成り立つ」かどうかは興味深いところです。
　それとも、さらに多くの桁数を調べると、type E が発見されるでしょうか？

（補足）　最近、桁落ちを認めた場合は、以下のｔｙｐｅＥを追加するだけでよい
　　　　　　ことが高橋謙一郎さんの報告にありました。(2000.08.05)

　　　type E　： (1,2,4,5,7,8) x m + (0,9) x n + (3,6) x a + (1,2,3,4,5,6,7,8,9) x b
　　 　　　　　　　ただし、m >= 1, n >= 1, a >= 0, b >= 0 の整数

□「高橋の数」の性質

　「高橋の数」を求める準備としていくつかの特徴を整理したものです。
　　詳細はこちらをご覧ください。

□「高橋の数」を求めるアルゴリズム

　Ａ１：「高橋の数」の性質３を利用して、かなり効率よく「高橋の数」を求めるアルゴリズム
　　　　
　　　　 ソース：A1_unit1.cpp　　　　　　　　　　　　（5KB）
　　　　　　　　 A1_unit1.h　　　　　　　　　　　　　　(2KB)
　　　　 exe 　：Ａ１．ｅｘｅ　(win95アプリ）　　　　（256KB)　　　必要な方はご連絡ください
　　　　log 　 ：N30_log.txt（３０桁までの結果）　（8KB）

　 Ａ２：「高橋の数」の性質２，３を利用して、「高橋の数」の一般形を求めるアルゴリズム

　　　　 ソース：A2_unit1.cpp　　　　　　　　　　　　　　(10KB)
　　　　　　　　 A2_unit1.h　　　　　　　　　　　　　　　　(2KB)
　　　　 exe 　：A2.exe　（ｗｉｎ９５アプリ）　　　　　(253KB)　　必要な方はご連絡ください
　　　　log 　 ：A2_log.txt（「高橋の数」の一般形）　(8KB)

□アルゴリズム：Ａ２の結果
　

　アルゴリズム：Ａ２の結果と高橋謙一郎さんの実験結果とは完全に一致した。！！！

［結論］
　
　　 　「高橋の数」は、
　　　　　　type A 〜 type D のいずれかになる。それ以外のパターンは存在しない。
　　　　　　また、桁落ちを認めた場合、ｔｙｐｅＥを追加するだけでよい。
　
　　ことが判明した。
　 　　 　　　 　　　

□「高橋の数」タイプ１(2000.08.29追加）

　　「高橋の数」タイプ１では、”最小値”はその桁数を維持した範囲での最小値となります。
　　実際に相違がでるのは、０を含む場合です。

　　　３７０８の”最小値”は、３０７８となります。（従来は、３７８）

　　前回と同様な情報を以下にまとめておきます。
　
　　　＜高橋の数の性質＞　　　こちらをどうぞ

　 　＜アルゴリズム：Ａ３＞　　アルゴリズムの説明はこちら

　　　　 ソース：A3_unit1.cpp　　　　　　　　　　　　（5KB）
　　　　　　　　 A3_unit1.h　　　　　　　　　　　　　　(2KB)
　　　　 exe 　：Ａ3．ｅｘｅ　(win95アプリ）　　　　（251KB)　　　必要な方はご連絡ください
　　　　log 　 ：Ｘ30_log.txt（３０桁までの結果）　（21KB）


　　　＜アルゴリズム：Ａ４＞　　　　説明は省略

　　　　 ソース：A4_unit1.cpp　　　　　　　　　　　　　　(12KB)
　　　　　　　　 A4_unit1.h　　　　　　　　　　　　　　　　(2KB)
　　　　 exe 　：A4.exe　（ｗｉｎ９５アプリ）　　　　　(254KB)　　必要な方はご連絡ください
　　　　log 　 ：A4_log.txt（「高橋の数」の一般形）　(9KB)

□結論

　タイプ１の「高橋の数」は以下の形式のいずれかである。

　　 　 type A　：(4,5,9) x n
　　　 type B　：(1,4,6,7) x 1 + (3,6) x m
　 　　type C　：(1,2,3,4,5,6,7,8,9) x n + (3,6) x m
　 　　type D　：(1,2,3,4,5,6,7,8,9) x n + (2,2,2,3,4,4,5,5,6,7,7,7,9,9) x m
　　　　　　　　　　ただし、m >= 0, n >= 1 の整数

　　 　type F ： (0,2,5,6,6,8) x 1 + (3,6) x a　　　　　　　　　 ただし、a >= 0 の整数
　　 　type G ：(0,2,2,4,4,5,6,7,7,8) x 1 + (3,6) x a　　　　　 ただし、a >= 0 の整数
　　 　type H ：(1,2,4,5,7,8) x m + (0,9) x n + (3,6) x a + (1,2,3,4,5,6,7,8,9) x b
　　　　　　　　　 ただし、m >= 1, n >= 1, a >= 0, b >= 1 の整数